Ein kleines Rosinenbrötchen

Kleinere Brötchen backen

Als ich heute morgen beim Bäcker darauf wartete, dass ich an der Reihe bin, hörte ich vor mir eine Kundin ein Rosinenbrötchen bestellen. Die Verkäuferin sagte zu ihr: „Ich gebe Ihnen zwei, die sind etwas kleiner heute.“ Da wurde ich hellhörig und beschloss, dass ich heute auch ein Rosinenbrötchen haben möchte. Denn dann würde ich auch zwei bekommen, und zwei sind mehr als eins, auch wenn sie etwas kleiner sind.

Aber ist das so? Sind zwei etwas kleinere Brötchen mehr als ein normal großes? Das wollen wir jetzt mal nachrechnen.

Das ist mal wieder so eine herrlich unpräzise Frage, weil sie halt direkt aus dem Leben gegriffen ist und nicht aus dem Mathebuch abgeschrieben. Eine mathematische Frage zu stellen ist hier Teil der Aufgabe. Denn nur wer gute Fragen stellt, bekommt auch gute Antworten.

Also los. Zunächst mal: Brötchen sind in der Welt der Mathematik Kugeln. Das kommt ungefähr hin, und das Volumen einer Kugel mit Radius $r$ können wir gut berechnen. Es ist nämlich:

$$V=\frac 43\pi r^3$$

Als weitere Vereinfachung nehmen wir an, ein normal großes Brötchen habe den Radius 1 (in einer beliebigen, fest gewählten Maßeinheit). Das Volumen dieses „Normalbrötchens“ ist dann:

$$V_1=\frac 43\pi\text.$$

Und meine Frage ist nun: Welchen Radius $r_2$ müssen zwei gleich große „Brötchenkugeln“ haben, damit ihre Volumina (jeweis mit $V_2$ bezeichnet) zusammen gleich dem Volumen $V_1$ sind. Mit dieser Formulierung erhalten wir folgenden Ansatz:

$$2\cdot V_2=V1$$

Daraus folgt durch Einsetzen der jeweiligen Volumenformel:

$$2\cdot \frac 43\pi r_2^3=\frac 43\pi$$

Wir kürzen gemeinsame Faktoren weg und erhalten:

$$2\cdot r_2^3=1$$

Divididieren durch 2 und Wurzelziehen ergibt:

$$r_2=\sqrt[3]{\frac 12}=0,79$$

Das bedeutet, das ein Brötchen mit dem Radius 0,79 (also gut 20 % weniger als das normal große Brötchen) tatsächlich nur noch das halbe Volumen hat. Und ich behaupte mal, dass eine Verkleinerung von 20 % des Radius (und damit auch des Durchmessers) tatsächlich in der Nähe der Grenze liegt, ab der man die Verkleinerung deutlich sieht.

Also scheint es gerechtfertigt, dass der Bäcker zwei Brötchen gibt, wenn sie ausnahmsweise mal zu klein geraten sind. Man hat dann nicht mehr Brötchenvolumen in der Tüte, aber ein gutes Gefühl, weil man heute zwei Brötchen zum Preis von einem abgestaubt hat. Hätten wir das also auch geklärt. 🙂

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