Balken aus Baumstamm sägen

Aus einem Baumstamm mit Durchmesser $d=36\text{ cm}$ soll ein möglichst großer Balken mit quadratischem Querschnitt gesägt werden. Welche Kantenlänge hat dieser?

Lösungsweg

Zur Lösungsfindung brauchen wir zunächst wieder eine Skizze, in der Schulsprache Planfigur genannt. Diese ist nicht nur für dich wichtig, um einen Lösungsweg zu finden, sondern hilft auch dem Leser, deine Lösung zu verstehen. Deshalb gehört sie auch zur fertigen Lösung dazu und nicht nur auf einen Schmierzettel, wie ich es schon oft bei Nachhilfeschülern gesehen habe.

Also – wie kommen wir zu der Planfigur? Wir lesen uns die Aufgabe Stück für Stück durch und schauen, welche Gegenstände darin vorkommen. Der Baumstamm ist ein Kreis mit Durchmesser $d={36}\text{ cm}$.

Aus diesem Querschnitt soll ein möglichst großes Quadrat entstehen. Das größte Quadrat erhalten wir, wenn wir es so zeichnen, dass die Diagonale des Kreises auch die Diagonale des Quadrats wird. Die Mathematiker sagen, das Quadrat wird dem Kreis einbeschrieben. Das sieht dann so aus:

In dem Quadrat sehen wir ein rechtwinkliges Dreieck mit den gesuchten Katheten $a$ und der Hypotenuse $d=36\text{ cm}$. Damit stellen wir die Pythagoras-Gleichung auf:

$$a^2+a^2=d^2$$

Die linke Seite fassen wir zusammen:

$$2a^2=d^2$$

Und wir teilen auf beiden Seiten durch 2:

$$a^2=\frac{d^2}2$$

Wir können auch jetzt schon die Wurzel ziehen und erhalten durch teilweises Wurzelziehen auf der rechten Seite:

$$a=\frac{d}{\sqrt 2}$$

Jetzt setzen wir den Wert für $d$ ein und haben die Aufgabe gelöst:

$$a=\frac{36\text{ cm}}{\sqrt 2}=25,46\text{ cm}$$

Der quadratische Balken hat also eine Seitenlänge $a=25,46\text{ cm}$.

Nebenbei haben wir bei dieser Aufgabe gezeigt, wie man bei einem Quadrat die Seitenlänge aus der Diagonalen berechnen kann.

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